1 вопрос: Блез Паскаль – французский учёный, внёсший большой вклад в развитие математики. Родился 19 июня 1623 года и умер в августе 1662.  Самым первым изобретением является «Паскалина» – суммирующая машинка, она позволила облегчить счёт. Также особо известен опыт с трубкой Торричелли, из выводов которого Паскаль выпустил свой трактат «Новые опыты, касающиеся пустоты».

2 вопрос: Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности далеко опережала своих предшественников.

 

​

3 вопрос: Биномиальные коэффициенты часто обозначаются              и читаются как «число сочетаний из n элементов по k». 

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

• В строке с номером n:

  • первое и последнее числа равны 1.

  • второе и предпоследнее числа равны n.

  • третье число равно треугольному числу                                     , что также равно сумме номеров предшествующих строк.

  • четвёртое число является тетраэдрическим.

           m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту

​

​

​

​

​

​

• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

​

​

​

​

​

​

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 

• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом (следствие теоремы Люка).

• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

​

​

​

​

​